Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,（為參數(shù)），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線和圓的極坐標(biāo)方程；

(2)若射線與的交點(diǎn)為,與圓的交點(diǎn)為,且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn),求的值.

Answer 1

【答案】（1） .（2）

【解析】分析：（1）將直線的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)，可得直線的直角坐標(biāo)方程，利用，可得直線的極坐標(biāo)方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，兩邊同乘以利用利用互化公式可得圓的極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立可得，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，將代入，解方程即可得結(jié)果.

詳解：（1）在直線的參數(shù)方程中消去可得，，

將，代入以上方程中，

所以，直線的極坐標(biāo)方程為.

同理，圓的極坐標(biāo)方程為.

（2）在極坐標(biāo)系中，由已知可設(shè)，，.

聯(lián)立可得，

所以.

因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，

所以，即.

把代入，

得，

所以.