Question

14．已知函數f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及圖象的對稱中心；
（2）求f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性、圖象的對稱性，得出結論．
（2）由條件利用正弦函數的定義域和值域求得f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cosx$•（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）$-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$•sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函數的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0）．
（2）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
故當2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{3π}{2}$時，函數f（x）取得最小值為-$\frac{1}{2}$，當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、圖象的對稱性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．