Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}{m}^{2}}\\{y=2m}\end{array}\right.$（m為參數），若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 把參數方程分別化為普通方程，聯立方程得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系、弦長公式即可得出．

解答 解：直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），化為普通方程：2$\sqrt{3}x$-2y-3$\sqrt{3}$=0．
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}{m}^{2}}\\{y=2m}\end{array}\right.$（m為參數），化為普通方程：y²=6x．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}=0}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，化為：4x²-20x+9=0．
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=$\frac{9}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{4×（25-4×\frac{9}{4}）}$=8．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、直線與曲線相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．