Question

已知數列{a_n}的各項均為正整數，對于n=1，2，3，…，有，當a₁=11時，a₁₀₀=    ；若存在m∈N^*，當n＞m且a_n為奇數時，a_n恒為常數p，則p的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題設分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項開始是周期為6的周期數列，故a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄；由若存在m∈N^*，當n＞m且a_n為奇數時，a_n恒為常數p，知a_n=p，a_n+1=3p+5，，再由數列{a_n}的各項均為正整數，能求出p．
解答：解：由題設知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
，
a₄=3×19+5=62，
，
a₆=3×31+5=98，
，
a₈=3×49+5=152，
，
∴{a_n}從第3項開始是周期為6的周期數列，
∴a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄=62．
若存在m∈N^*，當n＞m且a_n為奇數時，a_n恒為常數p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，，
∴（3-2^k）p=-5，
∵數列{a_n}的各項均為正整數，
∴當k=2時，p=5，
當k=3時，p=1．
故答案為：62，1或5．
點評：本題考查數列的遞推公式的性質和應用，解題時分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項開始是周期為6的周期數列，借助數列的周期性進行求解．