Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足：a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有b_n，$\sqrt{{a}_{n}}$，b_n+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=b_nb_n+1（n∈N^*），從而得到數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\sqrt{2}$，公差為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=b_nb_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，得$\frac{1}{an}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），由此利用裂項(xiàng)法能求出S_n．

解答 解�。�1）∵對(duì)任意正整數(shù)n，都有b_n，$\sqrt{an}$，b_n+1成等比數(shù)列，且數(shù)列{a_n}，{b_n}均為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n=b_nb_n+1（n∈N^*）．
∵a₁=3，a₂=6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=_{1}_{2}=3}\\{{a}_{2}=_{2}_{3}=6}\end{array}\right.$，
又{b_n}為等差數(shù)列，即有b₁+b₃=2b₂，
解得b₁=$\sqrt{2}$，b₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\sqrt{2}$，公差為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=$\frac{\sqrt{2}（n+1）}{2}$（n∈N^*）．
（2）由（1）得，對(duì)任意n∈N^*，
a_n=b_nb_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
從而有$\frac{1}{an}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=2[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=1-$\frac{2}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．