Question

四邊形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=AB．則二面角A-MN-C的余弦值為（　�。�

• A．

  6

  3

• B．-

  6

  3

• C．

  1

  3

• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：由已知可將幾何體補成正方體ABCD-ENFM，設正方體ABCD-ENFM的邊長為1，則

CE

=（-1，-1，1）為平面AMN的一個法向量，

AF

=（1，1，1）為平面CMN的一個法向量，銳二面角A-MN-C的余弦值即為兩個法向量夾角余弦值的絕對值．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=AB．
將已知的幾何體補成正方體ABCD-ENFM，如圖所示：
設正方體ABCD-ENFM的邊長為1，
以A為坐標原點，AB，AD，AE方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系
易得

CE

=（-1，-1，1）為平面AMN的一個法向量，

AF

=（1，1，1）為平面CMN的一個法向量，
設二面角A-MN-C的夾角為θ
則cosθ=

| AF • CE |

| AF |•| CE |

=

1

3

故選C

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中將幾何體補成正方體ABCD-ENFM，并建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角是解答的關鍵．