Question

在等比數(shù)列{a_n}(n∈N^*)中，a₁＞1,公比q＞0.設(shè)b_n=log₂a_n,且b₁+b₃+b₅=6,b₁b₃b₅=0.

(1)求證:數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；

(2)求{b_n}的前n項和S_n及{a_n}的通項a_n；

(3)試比較a_n與S_n的大小.

Answer 1

剖析:(1)定義法即可解決.(2)先求首項和公差及公比.(3)分情況討論.

(1)證明:∵b_n=log₂a_n,

    ∴b_n+1-b_n=log₂=log₂q為常數(shù).

    ∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列且公差d=log₂q.

(2)解:∵b₁+b₃+b₅=6,∴b₃=2.

    ∵a₁＞1,∴b₁=log₂a₁＞0.

    ∵b₁b₃b₅=0,∴b₅=0.

    ∴解得

    ∴S_n=4n+×(-1)=.

    ∵∴

    ∴a_n=2^5-n(n∈N^*).

    (3)解:顯然a_n=2^5-n＞0,當(dāng)n≥9時，S_n=≤0.

    ∴n≥9時，a_n＞S_n.

    ∵a₁=16,a₂=8,a₃=4,a₄=2,a₅=1,a₆=,a₇=,a₈=,S₁=4,S₂=7,S₃=9,S₄=10,S₅=10,S₆=9,S₇=7,S₈=4,

    ∴當(dāng)n=3,4,5,6,7,8時，a_n＜S_n;

    當(dāng)n=1,2或n≥9時，a_n＞S_n.

評述:本題主要考查了數(shù)列的基本知識和分類討論的思想.