Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，

（Ⅱ）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立時，求的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出．

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.

當時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當時，由，得；由，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）不等式.

當時，取，，不合題意；

當時，令，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立時，求的取值范圍.

由于.令，得，

當時，，當時，，

所以，函數(shù)的最大值為

，

于是由題意知，解得，

故實數(shù)的取值范圍是.