Question

16．△ABC中，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，accosB=$\frac{27}{2}$，求b．

Answer 1

分析 由C=2A，求得cosB，由條件可得ac=24，再由C=2A，兩邊取正弦，結(jié)合二倍角公式和正弦定理，可得a，c的關(guān)系，解方程可得a，c，再由余弦定理，可得b=5．

解答 解：由C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，
則cosB=-cos（A+C）=-cos（3A）
=-（4cos³A-3cosA）=3×$\frac{3}{4}$-4×$\frac{27}{64}$=$\frac{9}{16}$，
由accosB=$\frac{27}{2}$，因cosB=$\frac{9}{16}$，則ac=24，
由C=2A，可得sinC=sin2A=2sinAcosA，
由正弦定理，可得c=2acosA=$\frac{3}{2}$a，與ac=24聯(lián)立解得a=4，c=6，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB=16+36-2×4×6×$\frac{9}{16}$=25，
解得b=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．