Question

5．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=$\frac{π}{3}$，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．求點(diǎn)B到平面OCD的距離．

Answer 1

分析 AB∥平面OCD，點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等．作AP⊥CD于點(diǎn)P，連接OP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥OP于點(diǎn)Q．線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離．

解答 解：∵AB∥平面OCD，∴點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等．
作AP⊥CD于點(diǎn)P，連接OP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥OP于點(diǎn)Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離．
∵OP=$\sqrt{O{D}^{2}-D{P}^{2}}$=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AP=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AQ=$\frac{OA•AP}{OP}$=$\frac{2}{3}$．
∴點(diǎn)B到平面OCD的距離為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．