Question

19．已知圓C：x²+y²=2，點P為直線$x-y+2\sqrt{2}=0$上任意一點，過點P的直線與圓C交于A，B兩點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 經(jīng)P點坐圓O的切線PD，D為切點，則由切割線定理知：PD²=|PA|•|PB|=OP²-OD²=OP²-2，而由原點到直線$x-y+2\sqrt{2}=0$的距離公式知：OP_min=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA|•|PB|的最小值為2．

解答 解：由題意，經(jīng)P點作圓O的切線PD，D為切點，
則由切割線定理知：PD²=|PA|•|PB|=OP²-OD²=OP²-2，
而由原點到直線$x-y+2\sqrt{2}=0$的距離公式知：OP_min=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA|•|PB|的最小值為4-2=2．
故選A．

點評 本題主要考察了直線與圓的位置關系，考察了切割線定理和點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．