Question

10．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₄₀的值是（　�。�

• A． $\frac{11}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為${a}_{1}^{2}$=1，公差為${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=3．利用通項(xiàng)公式可得${a}_{n}^{2}$=3n-2．a(chǎn)_n＞0．可得a_n=$\sqrt{3n-2}$．可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，再利用累加求和方法即可得出．

解答 解：由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為${a}_{1}^{2}$=1，公差為${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=3．
∴${a}_{n}^{2}$=1+3（n-1）=3n-2．a(chǎn)_n＞0．
∴a_n=$\sqrt{3n-2}$．
b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，
∴S₄₀=$\frac{1}{3}$$[（2-1）+（\sqrt{7}-2）$+…+$（\sqrt{121}-\sqrt{118}）]$
=$\frac{1}{3}×（11-1）$
=$\frac{10}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、累加求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．