Question

已知函數(shù)f(x)=x⁴+x³-+cx有三個極值點.

(Ⅰ)證明：-27＜c＜5;

(Ⅱ)若存在c,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

Answer 1

解  (Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=x⁴+x³-x²+cx有三個極值點，所以

f′(x)=x³+3x³-9x+c=0有三個互異的實根.

設g(x)=x³+3x²-9x+c，則g′(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1).

當x＜-3時，g′(x)＞0,g(x)在(-∞,-3)上為增函數(shù),

當-3＜x＜1時，g′(x) ＜0,g(x)在(-3,1)上為減函數(shù),

當x＞1時，g′(x)＞0,g(x)在(1,+ ∞)上為增函數(shù).

所以函數(shù)g(x)在x=-3時取極大值，在x=1時取極小值.

當g(-3) ≤0或g(1) ≥0時，g(x)=0最多只有兩個不同實根，因為g(x)=0有三個不同實根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.

故-27＜c＜5.

(Ⅱ)由(Ⅰ)的證明可知，當-27＜c＜5時，f(x)有三個極值點，不妨設為x₁,x₂,x₃(x₁＜x₂＜x₃),則f′(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃).

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，x₁],[x₂,x₃].

若f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減，則[a,a+2](- ∞,x₁],或[a,a+2][x₂,x₃].

若[a,a+2](-∞,x₁],則a+2≤x₁,由(Ⅰ)知，x₁＜-3，于是a＜-5.

若[a,a+2][x₂,x₃],則a≥x₂,且a+2≤x₃.由(Ⅰ)知，-3＜x₂＜1.

又f′(x)=x³+3x²-9x+c，當c=-27時，f′(x)=(x-3)(x+3)²;當c=5時，f′(x)=(x+5)(x-1)².

因此，當-27＜c＜5時，1＜x₃＜3.

所以a＜-3，且a+2＜3.即-3＜a＜1.

故a＜-5，或-3＜a＜1.

反之，當a＜-5，或-3＜a＜1時，總可找到c(-27,5),使f(x)在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-5)(-3,1).