Question

如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PD一AE所成角的大�。�
（2）求證：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F﹣PC﹣B的大�。�

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴．
∴．
又∵，
∴=．
故異面直線AE與DP所成角的大小為
（2）．
∴=（﹣1）×2+0×2+（﹣1）×（﹣2）=0，
∴EF⊥PB．
∵=（﹣1）×2+0×0+（﹣1）×（﹣2）=0，
∴EF⊥PC．
又∵PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（3）設(shè)平面PFC的法向量為m=（x，y，z），
則
令z=1，則m=（1，2，1）．
由（2）知平面PBC的法向量為．
．
則二面角F﹣PC﹣B的大小為為．