Question

18．下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　�。�

• A． y=x³
• B． y=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）
• C． y=lg$\frac{1+x}{1-x}$
• D． y=（$\frac{1}{2}$）^x

Answer 1

分析 根據題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調性，即可得答案．

解答 解：根據題意，依次分析選項：
對于A、y=x³，為冪函數(shù)，為奇函數(shù)，在其定義域上為增函數(shù)，不符合題意；
對于B、y=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x），其定義為R，有f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
其導數(shù)y′=$\frac{1}{2}$（-e^-x-e^x）＜0，則其在定義域為減函數(shù)，符合題意，
對于C、y=lg$\frac{1+x}{1-x}$，有$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解可得-1＜x＜1，即其定義域為（-1，1），關于原點對稱，
且f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），為奇函數(shù)；
令t=$\frac{1+x}{1-x}$，y=lgt，分析可得t=$\frac{1+x}{1-x}$為增函數(shù)，為y=lgt為增函數(shù)，故y=lg$\frac{1+x}{1-x}$為增函數(shù)，不符合題意；
對于D、y=（$\frac{1}{2}$）^x，為指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的判定，關鍵是掌握函數(shù)的奇偶性、單調性的判定方法．