Question

已知拋物線y2=2

3

x，過其對稱軸上一點P(2

3

，0)作一直線交拋物線于A，B兩點，若∠OBA=60°，求OB的斜率．

Answer 1

分析：先設直線AB的方程和A，B兩點的坐標，然后聯立直線AB和拋物線消去x得到y的二次方程，進而可表示出兩根之和，再結合直線AB方程可得到其橫坐標之積的值，進而可得到OA⊥OB，最后根據∠OBA=60°可求出B點的縱坐標的值，然后根據橫縱坐標之間的關系得到OB的斜率．

解答：解：設直線AB方程為ty=x-2

3

，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y2=2 3 x ty=x-2 3

，得y2-2

3

ty-12=0，
則y₁•y₂=-12，x₁•x₂=12，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，∴OA⊥OB，又∠OBA=60°，
∴OA=

3

OB，∴x₁²+y₁²=3（x₂²+y₂²），
∴

123

y24

+

122

y22

=

y24

4

+3y22，∴y22=4•

3	32

，
∴kOB=

y2

x2

=

2 3 y2

y22

=±3

1

6

．

點評：本題主要考查直線和拋物線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的熱點，也是難點，要強化復習．