Question

如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.

(1)若AE⊥PD,E為垂足,求證:BE⊥PD;

(2)求異面直線AE與CD所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

(1)證法一:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.

再由AB⊥AD,得AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.

又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE.

故BE⊥PD.

證法二:由題設(shè)AB⊥AD,AB⊥AP,

∴AB⊥平面PAD.

又AE⊥PD,∴BE⊥PD.

(2)解：如圖所示,以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(a,a,0)、(0,2a,0).

∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD與底面ABCD所成的角,

∴∠PDA=30°.

于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.

過E作EF⊥AD,垂足為F,

在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得

AF=a,EF=a.

∴E(0,a,a).

于是=(0,a,a),=(-a,a,0).

設(shè)的夾角為θ,則由

∴θ=arccos.

綠色通道：

求一對(duì)異面直線所成的角:一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角;二是在異面直線上各取一向量,轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角.無論哪種求法,都應(yīng)注意角的范圍的限定.