Question

已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），，
x=3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴，∴a=16；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（-1，+∞），
，
令f′(x)=0，得x=1，x=3，
f′(x)和f(x)隨x的變化情況如下：

∴f(x)的增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）；減區(qū)間是（1，3）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，　　∴，，　
又時(shí)，f(x)→-∞；x→+∞時(shí)，f(x)→+∞；
可據(jù)此畫出函數(shù)y=f(x)的草圖（圖略），
由圖可知，當(dāng)直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為．