Question

3．已知函數(shù)$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且三邊長a，b，c成等差數(shù)列，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，利用余弦定理求出B的范圍，即得到f（B）的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
化簡可得：$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-1=2{sin^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx-1$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2x+\frac{π}{6}∈[{2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}}]$
得$x∈[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$；
 （2）∵a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c
由余弦定理：$cosB=\frac{{4{a^2}+4{c^2}-{{（{a+c}）}^2}}}{8ac}=\frac{{3{a^2}+3{c^2}-2ac}}{8ac}≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
（當且僅當a=c時，取等號）
∵0＜B＜π，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$．
∵$f（x）=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
故f（B）=$-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）$．
∵$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
故得：$sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
從而f（B）的取值范圍是[-2，-1]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用余弦定理和基本不等式的結合，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．