Question

在三棱錐S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=4,SB=4.

(1)證明SC⊥BC;

(2)求二面角A-BC-S的大小;

(3)求直線AB與平面SBC所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

解法一:(1)證明:∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A,∴SA⊥平面ABC.

∴AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影.

又AC⊥BC,∴BC⊥SC.

(2)由(1)BC⊥SC,又BC⊥AC,∴∠SCA為所求二面角的平面角.

又∵SB=4,BC=4,

∴SC=4.∵AC=2,∴∠SCA=60°,

即二面角ABCS的大小為60°.

(3)過A作AD⊥SC于D,連結(jié)BD,由(2)得BC⊥平面SAC,又BC平面SBC,∴平面SAC⊥平面SBC,且平面SAC∩平面SBC=SC.

∴AD⊥平面SBC.

∴BD為AB在平面SBC內(nèi)的射影.

∴∠ABD為AB與平面SBC所成角.

在Rt△ABC中,AB=2,在Rt△SAC中,SA==2,

AD=,∴sin∠ABD==.

∴直線AB與平面SBC所成角的大小為arcsin.

解法二:(1)證明:由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,

以C點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

則A(0,2,0),B(4,0,0),C(0,0,0),S(0,2,2).

則=(0,-2,-2),=(-4,0,0).∴·=0.∴SC⊥BC.

(2)∵∠SAB=∠SAC=90°,∴SA⊥平面ABC.

∴=(0,0,2)是平面ABC的法向量.

設(shè)側(cè)面SBC的法向量為n=(x,y,z),=(0,-2,-2),=(-4,0,0).

∵·n=0,·n=0,∴∴x=0.令z=1,則y=-.

則平面SBC的一個法向量n=(0,-,1).7分cos〈,n〉===,

即二面角ABCS的大小為60°.

(3)由(2)可知n=(0,,1)是平面SBC的一個法向量.

又=(4,-2,0),∴cos〈,n〉=.

∴直線AB與平面SBC所成角為arcsin.