Question

16．設(shè)橢圓C：y²+$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1（0＜m＜1）的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若在橢圓C上存在點P使得PF₁⊥PF₂，則m的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，在橢圓C上存在點P使得PF₁⊥PF₂，等價為以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，即有c≥b，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：橢圓C：y²+$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1（0＜m＜1）的a=1，b=m，c=$\sqrt{1-{m}^{2}}$，
在橢圓C上存在點P使得PF₁⊥PF₂，等價為以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，
即有c≥b，即$\sqrt{1-{m}^{2}}$≥m，
即為2m²≤1，解得0＜m≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查圓與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．