Question

已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)．
①求證：EF∥平面PAB．
②求證：DE⊥平面PAE．
③求二面角P﹣DE﹣A的余弦值．

Answer 1

解：①證明：取PA的中點(diǎn)G，連接BG，PG，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，PD的中點(diǎn)．
所以FG  =EB，
所以四邊形BEFG是平行四邊形，
因?yàn)镋F平面PAB，BG平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
 ②證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，
∴PA⊥DE，底面ABCD是矩形，
且PA=AB=1，BC=2．
E是BC的中點(diǎn)．
所以AE= ，ED= ，AD=2，
∴AE⊥ED，
又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE．   
③解：由②可知∠PEA就是二面角P﹣DE﹣A的二面角的平面角，
二面角P﹣DE﹣A的余弦值，