Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于，兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結合向量數量積的坐標運算，由求得的值，由此求得拋物線方程.

（2）法一：設直線方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達定理，計算，由此證得.

法二：將直線的斜率分為存在和不存在兩種情況進行分類討論，通過計算，證得.

（1）由題設拋物線的方程為：，

則點的坐標為，點的一個坐標為，

∵，∴，

∴，∴，∴.

（2）設、兩點坐標分別為、，

法一：因為直線當的斜率不為0，設直線當的方程為

方程組，得，

，

因為，

所以

，

所以.

法二：①當的斜率不存在時，的方程為，此時，，

即，有，所以.

②當的斜率存在時，設的方程為.

方程組，得，

所以，

因為，

所以

所以.

由①②得.