Question

設A={x∈R||2x-x²|≤x}，，C={x∈R|ax²+x+b＜0}，若（A∪B）∩C=Φ，（A∪B）∪C=R，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：分別求出兩個集合中的不等式的解集，然后求出A與B的并集，根據（A∪B）∩C=Φ，（A∪B）∪C=R，得到集合C其實為A∪B在R上的補集，即可得到集合C，即得到ax²+x+b=0的兩個根為0和3，根據韋達定理列出方程求出a，b的值即可．
解答：解：|2x-x²|≤x，當x=0時顯然成立；
x≠0化簡得或，
解得1≤x＜2或2≤x≤3，
所以A={x|1≤x≤3}∪{0}；
根據，得到≥0，
解得x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，
解得0≤x＜1或無解，則B={x|0≤x＜1}，
則A∪B={x|0≤x≤3}
∵（A∪B）∩C=Φ，（A∪B）∪C=R，
∴C={x|x＜0或x＞3}
∴0，3是方程ax²+x+b=0的兩根，
由韋達定理：解得，b=0．
點評：考查學生會進行并集、交集的運算，會根據條件進行推理，會求絕對值不等式和一元二次不等式的解集，以及靈活運用韋達定理解決數學問題的能力．是一道中檔題．