Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow$=（3，-4tanα）α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（1）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（2）求$sin（\frac{3π}{2}+2α）+cos（2α-π）$．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量垂直的性質(zhì)可求sinα，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，tanα的值，進(jìn)而可求$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，7）$，進(jìn)而計(jì)算得解．
（2）利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求結(jié)合cosα的值即可計(jì)算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4×3+5cosα×（-4tanα）=12-20sinα=0，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\frac{4}{5}，tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$．
（1）∴$\overrightarrow a=（4，4），\overrightarrow b=（3，-3）$，
∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（1，7）$，
∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{{1^2}+{7^2}}=5\sqrt{2}$．
（2）$sin（\frac{3π}{2}+2α）+cos（2α-π）=-cos2α-cos2α=-2cos2α=-2（2{cos^2}α-1）=-\frac{14}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．