Question

正四面體在桌面上的射影可能是下列圖形中的哪一個(gè)?__________.

A.正方形　　　　              B.梯形              C.菱形(正方形除外)

Answer 1

思路分析:設(shè)正四面體為A—BCD,?

(1)當(dāng)平面BCD與桌面平行時(shí),投影為正三角形.?

(2)如果A的投影A₁在BCD的投影三角形B₁C₁D₁的內(nèi)部,則為一般的三角形.?

(3)當(dāng)AB、CD都與桌面平行的時(shí)候,因?yàn)?I >AB垂直于CD,所以A₁B₁垂直于C₁D₁,且AB、CD的中點(diǎn)E、F的連線與桌面垂直,此時(shí)為正方形.?

(4)設(shè)AB平移到CD所在的平面上為A₂B₂與CD相交,則只要桌面與A₂B₂,CD所在的平面垂直,則為梯形(包括長(zhǎng)方形).?

不可能為菱形.?

我們不妨設(shè)為菱形,AB在桌面的射影為A₁B₁,CD在桌面的射影為C₁D₁,?

AB的中點(diǎn)為E,CD的中點(diǎn)為F,?

其射影分別為E₁、F₁.?

因?yàn)?I >A₁C₁B₁D₁為菱形,則E₁、F₁重合,?

也就是F、E_1、F₁在一條直線上,?

因?yàn)?I >AB⊥EF,EF⊥A₁B₁,AB、A₁B₁在一個(gè)平面內(nèi),所以AB∥A₁B₁.?

所以A₁B₁=AB.?

同理,C₁D₁ =CD.?

所以A₁B₁ =C₁D₁.?

這是正方形,所以不可能為非正方形的菱形.

答案:A、B