Question

20．下列結(jié)論中：
①函數(shù)$y=x（1-2x）（0＜x＜\frac{1}{2}）$有最大值為$\frac{1}{8}$；
 ②函數(shù)y=2-3x-$\frac{4}{x}$（x＜0）有最大值2-4$\sqrt{3}$； 
③若a＞0，則$（1+a）（1+\frac{1}{a}）≥4$．
正確的序號為①③．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的規(guī)則，逐個(gè)驗(yàn)證可得．

解答 解：由0＜x＜$\frac{1}{2}$可得0＜1-2x＜1，
∴y=x（1-2x）=$\frac{1}{2}$•2x•（1-2x）≤$\frac{1}{2}$（$\frac{2x+1-2x}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x即x=$\frac{1}{4}$時(shí)取等號，
故函數(shù)$y=x（1-2x）（0＜x＜\frac{1}{2}）$有最大值為$\frac{1}{8}$，①正確；
∵x＜0，∴-x＞0，∴y=2-3x-$\frac{4}{x}$=2+[（-3x）+（$\frac{4}{-x}$）]
≥2+2$\sqrt{（-3x）•\frac{4}{-x}}$=2+4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)（-3x）=（$\frac{4}{-x}$）即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號，
故函數(shù)y=2-3x-$\frac{4}{x}$（x＜0）有最小值2+4$\sqrt{3}$，②錯(cuò)誤；
∵a＞0，∴（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）=2+a+$\frac{1}{a}$≥2+2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=4
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{a}$即a=1時(shí)取等號，故③正確；
故答案為：①③

點(diǎn)評 本題考查基本不等式，逐個(gè)驗(yàn)證是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．