Question

11．已知圓C的圓心在直線(xiàn)x-2y=0上．
（1）若圓C與y軸的正半軸相切，且該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，直線(xiàn)l：y=-2x+b與圓C交于兩點(diǎn)A，B，若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)b的值；
（3）已知點(diǎn)N（0，3），圓C的半徑為3，且圓心C在第一象限，若圓C上存在點(diǎn)M，使MN=2MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心為（2a，a），通過(guò)圓C與y軸的正半軸相切，得到半徑r=2a．利用該圓截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，列出方程求解即可．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{（{x-2）}^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及判別式，結(jié)合直線(xiàn)的斜率關(guān)系，即可求出b的值．
（3）設(shè)圓C的圓心為（2a，a），圓C的方程為（x-2a）²+（y-a）²=9，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用|3-2|≤$\sqrt{（2a-1）^{2}+（{a-（-1））}^{2}}≤|3+2|$，且a＞0，求出圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍是（0，2]．

解答 解：（1）因?yàn)閳AC的圓心在直線(xiàn)x-2y=0上，所以可設(shè)圓心為（2a，a）．
因?yàn)閳AC與y軸的正半軸相切，所以a＞0，半徑r=2a．
又因?yàn)樵搱A截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
所以a²+（$\sqrt{3}$）²=（2a）²，解得a=1．…（2分）
因此，圓心為（2，1），半徑r=2．
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=4．…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{（{x-2）}^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得（x-2）²+（-2x+b-1）²=4．
整理得5x²-4bx+（b-1）²=0．（★）…（5分）
由△=（-4b）²-4×5（b-1）²＞0，得b²-10b+5＜0（※）…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4b}{5}$，x₁x₂=$\frac{（b-1）^{2}}{5}$    （7分）
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，可知OA，OB的斜率都存在，
且k_OA•k_OB=$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1
整理得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-2x₁+b）（-2x₂+b）=0．
化簡(jiǎn)得5x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=0，即（b-1）²-2b•$\frac{4b}{5}$+b²=0．
整理得2b²-10b+5=0．解得b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$．…（9分）
當(dāng)b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$時(shí)，2b²-10b+5=0，b²-10b+5=-b²．③
由③，得b≠0　從而b²-10b+5=-b²＜0
可見(jiàn)，b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$時(shí)滿(mǎn)足不等式（※）．b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$均符合要求．…（10分）
（3）圓C的半徑為3，設(shè)圓C的圓心為（2a，a），由題意，a＞0．
則圓C的方程為（x-2a）²+（y-a）²=9．…（11分）
又因?yàn)镸N=2MD，N（0，3），設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則$\sqrt{{x}^{2}+（{y-3）}^{2}}$=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理得x²+（y+1）²=4．…（12分）
它表示以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，記為圓D．
由題意可知，點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有公共點(diǎn)．
所以|3-2|≤$\sqrt{（2a-1）^{2}+（{a-（-1））}^{2}}≤|3+2|$，且a＞0．…（13分）
即1$≤\sqrt{4{a}^{2}+（a+1）^{2}}≤5$，且a＞0．
所以$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}+2a-24≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（5a+12）≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$
解得0＜a≤2．
所以圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍是（0，2]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，圓的方程的求法，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．