Question

4．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求異面直線BC₁與AA₁所成的角的大��；
（2）求證：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

分析 （1）說明異面直線BC₁與AA₁所成的角就是BC₁與BB₁所成的角，求解即可．
（2）連結(jié)BD、B₁D₁，證明A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，推出A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，得到B₁D⊥A₁C₁，證明B₁D⊥BC₁，然后證明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 （本題滿分10分）
（1）解：∵AA₁∥BB₁，
∴異面直線BC₁與AA₁所成的角就是BC₁與BB₁所成的角，即∠B₁BC₁=45^o，
故異面直線BC₁與AA₁所成的角為45^o
（2）證明：如圖，連結(jié)BD、B₁D₁，

∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又∵BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?底面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∴B₁D⊥A₁C₁，同理可證：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁
故B₁D⊥平面A₁C₁B．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．