Question

3．定義函數(shù)的“拐點”如下：設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”，已知任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心：若f（x）=x³-9x²+20x-4，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₅=3，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=（　�。�

• A． 44
• B． 36
• C． 27
• D． 18

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)圖象關(guān)于點（3，2）對稱，即f（x）+f（6-x）=4，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出．

解答 解：∵f′（x）=3x²-18x+20，
∴f″（x）=6x-18，
令f″（x）=6x-18=0得x=3，
∵f（3）=3³-9×9+20×3-4=2，
∴拐點（3，2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（3，2）對稱
∴f（x）+f（6-x）=4，
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₅=3，
∴f（a₁）+f（a₉）=2f（a₅）=4，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=4×4+2=18，
故選：D．

點評 本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點的求法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是尋找函數(shù)值所滿足的規(guī)律，是中檔題．