Question

3．設(shè)f（x）=|x+1|+|ax+1|
（1）若f（-1）=f（1），f（-$\frac{1}{a}$）=f（$\frac{1}{a}$）（a∈R且a≠0），試求a的值；
（2）設(shè)a＞0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|1-a|=2+|a+1|，|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2，運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，可得a=-1：
（2）對a討論，分a=1，0＜a＜1，a＞1，由零點(diǎn)分區(qū)間的方法，去掉絕對值，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：（1）f（-1）=f（1），f（-$\frac{1}{a}$）=f（$\frac{1}{a}$），可得
|1-a|=2+|a+1|，|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2，
由|1-a|-|1+a|≤|（1-a）+（1+a）|=2，當(dāng)（1-a）（1+a）≤0，且|1-a|≥|1+a|，
即為a≤-1，取得等號(hào)；
同理|1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$|≤|（1-$\frac{1}{a}$）+（1+$\frac{1}{a}$）|=2，可得$\frac{1}{a}$≤-1，取得等號(hào)．
解得a=-1；
（2）由f（x）=|x+1|+|ax+1|，a＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2|x+1|，當(dāng)x=-1時(shí)，取得最小值0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2-（1+a）x，x≤-\frac{1}{a}}\\{（a-1）x，-\frac{1}{a}＜x＜-1}\\{2+（1+a）x，x≥-1}\end{array}\right.$，
可得當(dāng)x≤-$\frac{1}{a}$，f（x）≥$\frac{1-a}{a}$；當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜x＜-1時(shí)，f（x）∈（1-a，$\frac{1-a}{a}$）；
當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）≥1-a．
則f（x）≥1-a，即有f（-1）取得最小值，且為1-a；
當(dāng)a＞1時(shí)，若x＜-1時(shí)，f（x）=-2-（1+a）x，遞減，可得f（x）＞-1+a；
若-1≤x≤-$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）=（1-a）x遞減，可得f（x）∈[$\frac{a-1}{a}$，a-1]；
若x＞-$\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）=2+（1+a）x，遞增，可得f（x）＞$\frac{a-1}{a}$．
即有f（x）≥$\frac{a-1}{a}$．即為f（x）的最小值為f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{a-1}{a}$．
綜上可得，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的最小值為f（-1）=1-a；
a＞1時(shí)，f（x）的最小值為f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{a-1}{a}$．

點(diǎn)評 本題主要考查含絕對值函數(shù)的最小值的求法，注意運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．