Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知曲線：和曲線：，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點是曲線上一動點，過點作線段的垂線交曲線于點，求線段長度的最小值.

Answer 1

【答案】(1)的直角坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為.(2).

【解析】

（1）極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得的直角坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由幾何關(guān)系可得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），據(jù)此可得，，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得當(dāng)且僅當(dāng)時，線段長度取得最小值為.

（1）的極坐標(biāo)方程即，則其直角坐標(biāo)方程為，

整理可得直角坐標(biāo)方程為，

的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得其直角坐標(biāo)方程為.

（2）設(shè)曲線與軸異于原點的交點為，

∵，∴過點，

設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入可得，解得或，

可知，

代入可得，解得，

可知，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以線段長度的最小值為.