Question

（14分）如圖2－72，棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)，

（1）求證：E、F、B、D四點(diǎn)共面；

（2）求四邊形EFDB的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）＝

【解析】

試題分析：⑴證明：如答圖所示，連結(jié)B₁D₁，在△C₁B₁D₁中，C₁E＝EB₁，C₁F＝FD₁ ，∴EF//B₁D₁，且EF＝B₁D₁，又A₁AB₁B，A₁AD₁D，∴B₁BD₁D，∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形. ∴B₁D//BD，EF//BD，∴E、F、D、B四點(diǎn)共面

⑵由AB＝a，知BD＝B₁D₁＝a，EF＝a，

DF＝BE＝＝，

過F作FH⊥DB于H，則DH＝

∴FH＝

四邊形的面積為＝

考點(diǎn)：本題主要考查正方體的特征、平面的基本性質(zhì)以及平面圖形的面積計(jì)算，考查空間想象能力及邏輯推理論證能力。

點(diǎn)評(píng)：空間問題注意轉(zhuǎn)化成平面問題，這是解答立體幾何問題的基本思路。