Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx,在x=1,x=-1處有極值且f(1)=-1,求a、b、c的值及函數(shù)f(x)的極值.

Answer 1

分析:此題是考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的題目.思維的方向?qū)儆谀嫦蛩季S.需注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，也就是說(shuō),極值點(diǎn)為f′(x)=0的根.利用這種關(guān)系，列a、b、c的方程組求a、b、c的值，確定函數(shù)f(x)的解析式,再進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的極值.

解:∵f(x)=ax³+bx²+cx，

∴f′(x)=3ax²+2bx+c.

∵x=1,x=-1為方程f′(x)=0的根，

∴

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.  ③

由①②③得a=,b=0,c=-.

∴f(x)=x³-x,f′(x)=x²-.

令f′(x)=0,即x²-=0,解得x=±1.

當(dāng)x的值變化時(shí)，y、y′的變化情況如下表：

因此,當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值，并且f(x)極小值=-1;

當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)有極大值，并且f(x)極大值=1.

點(diǎn)評(píng):本題是先利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,再進(jìn)一步求其極值.若題目告訴了曲線的種類(lèi)和方程的具體形式,可先設(shè)出它的方程,再進(jìn)一步確定方程中的參數(shù).一般說(shuō)來(lái),要求幾個(gè)未知數(shù)的值，就需根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造含有該未知數(shù)的幾個(gè)方程,這就是方程思想的重要應(yīng)用.