Question

1．設函數(shù)f（x）=f（1）lnx+f′（1）x-$\frac{1}{2}$x²，y=f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=（$\frac{3}{2}$+a-$\frac{1}{a}$）x+b有唯一實根x₀，求當a＞0時，$\frac{1+b}{{{x}_{0}}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，結合f（1），及f′（1），得到f（x）的解析式．
（2）對f（x）求導，由定義域的限制，得到單調(diào)區(qū)間．
（3）將等式的等價結論找到后，根據(jù)方程根，求得分式的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=f（1）lnx+f′（1）x-$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=f（1）$\frac{1}{x}$+f′（1）-x，
∴f′（1）=f（1）+f′（1）-1，
∴f（1）=1，
∵f（1）=f′（1）-$\frac{1}{2}$，
∴f′（1）=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=lnx+$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$x²．
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=$\frac{（-2x-1）（x-2）}{2x}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），單調(diào)減區(qū)間是（2，+∞）．
（3）∵f（x）=（$\frac{3}{2}$+a-$\frac{1}{a}$）x+b有唯一實根x₀，
等價于h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{1}{a}$-a）x-b=0有唯一實根，h（x）的定義域為（0，+∞），
h′（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-{a}^{2}）x+a}{ax}$，
當a＞0時，h（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞減，
h（x）的最大值為h（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2{a}^{2}}$-lna-1-b=0，且x₀=$\frac{1}{a}$，
∴令g（a）=$\frac{1+b}{{{x}_{0}}^{2}}$=a²（$\frac{1}{2{a}^{2}}$-lna）=$\frac{1}{2}$-a²lna，
∴g′（a）=-a（2lna-$\frac{1}{2}$），
∴g（a）在區(qū)間（0，$\root{4}{e}$）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\root{4}{e}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）的最大值為g（$\root{4}{e}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}\sqrt{e}$．

點評 本題考查函數(shù)求導，以及與方程根結合，求解參數(shù)最值的問題．