Question

6．已知曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）把曲線C的普通方程化為參數(shù)方程，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程即可；
（2）利用曲線C的參數(shù)方程求出點(diǎn)P到直線l的距離d，計(jì)算|PA|=$\fracu0uicgm{si{n30}^{°}}$，利用三角函數(shù)的恒等變換求出它的最大與最小值即可．

解答 解：（1）∵曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)；
又直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
化為普通方程是l：y=2-$\sqrt{3}$x，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入得，
ρsinθ=2-$\sqrt{3}$ρcosθ，
化簡(jiǎn)，得ρ（sinθ+$\sqrt{3}$cosθ）=2，
即ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1；
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離為d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+α）-2|}{2}$，
∴|PA|=$\fracgakseq4{si{n30}^{°}}$=2d=|$\sqrt{13}$sin（θ+α）-2|，其中α為銳角，
當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，|PA|取得最大值，為$\sqrt{13}$+2；
當(dāng)sin（θ+α）=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$時(shí)，|PA|取得最小值，為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的參數(shù)方程和極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用問題，是綜合性題目．