Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，則a_n=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 利用累加法以及裂項消項法求解即可．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（1+n）}$=a_n+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
可得a₁=$\frac{1}{2}$，
a₂=a₁+1-$\frac{1}{2}$，
a₃=a₂+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
a₄=a₃+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…
a_n=a_n-1+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
把上述n個式子相加可得：a_n=$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{n}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．
故答案為：$\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項公式的求法，考查計算能力．