Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同時滿足條件：
①任意的x∈R，有f（x）＜0或g（x）＜0；
②存在x∈（-∞，-4），使得f（x）g（x）＜0．
則g（x）＜0的解集是

 

，m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：①因g（x）=2^x-2≥0時x≥1，由題意f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1時成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍；
②因x∈（-∞，-4）時f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，則f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）時成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍．

解答：解：①∵g（x）=2^x-2，當x＜1時，g（x）＜0，
又①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立，
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點都在（1，0）的左邊，
即

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，
解得-4＜m＜0，
即①成立的m取值范圍是-4＜m＜0；
又②x∈（-∞，-4）時，f（x）g（x）＜0，
此時g（x）=2^x-2＜0恒成立，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，則只要-4比x₁，x₂中的較小的根大即可
（i）當-1＜m＜0時，-m-3＜-4不立，
（ii）當m=-1時，有2等根，不成立，
（iii）當-4＜m＜-1時，2m＜-4即m＜-2成立；
綜上可得①②成立時-4＜m＜-2．
故答案為：{x|x＜1}，（-4，-2）．

點評：本題用全稱命題與存在性命題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，是易錯題．