Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（2）若$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）$\frac{a_n}{n}=1+（n-1）•1=n$，可得${a_n}={n^2}$．即$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n^2}$．當(dāng)n=1時，T₁=b₁=1＜2；當(dāng)n≥2時，$b{\;}_n=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即可證明．

解答 證明：（1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，
所以數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$為首項，1為公差的等差數(shù)列…（5分）
（2）由（1）$\frac{a_n}{n}=1+（n-1）•1=n$，
所以${a_n}={n^2}$．即$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n^2}$，
當(dāng)n=1時，T₁=b₁=1＜2；
當(dāng)n≥2時，$b{\;}_n=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
所以${T_1}={b_1}+{b_2}+…+b{\;}_n≤1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）≤2-\frac{1}{n}＜2$，
綜上：對n∈N^*，T_n＜2．…（12分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．