Question

1．已知數(shù)陣：
（1）數(shù)陣第i行j列的項(xiàng)為a_i，j，求{a_n，n}的通項(xiàng)公式，并指出2016是第幾行第幾列的項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n，n}}$，證明：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通過觀察數(shù)列可知a_n，n=1+2+…n，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加、放縮即得結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，a_n，n=1+2+…n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{63（63+1）}{2}$=2016，
∴a_63，63=2016，即2016是第63行第63列的項(xiàng)；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n，n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．