Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若為中點(diǎn)，求證：平面.

（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求點(diǎn)C到平面PDE的距離.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析

（2）二面角A-PD-E的正弦值為

(3) a

解析:

（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，為中點(diǎn)，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE  ………………………（4分）

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．

過(guò)A作AG⊥PE于G，過(guò)DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．過(guò)G作GH⊥PD于H，連AH，

由三垂線(xiàn)定理得AH⊥PD．∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．

在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．

∴二面角A-PD-E的正弦值為．        …………………………………………..( 8分)

（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,  BC=DE=2a,AB=AE=4a,

取AE中點(diǎn)F，連CF，∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形．

∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

∴CF∥平面PDE．∴點(diǎn)C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．

又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．

∴過(guò)F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．∴FG的長(zhǎng)即F點(diǎn)到平面PDE的距離．在△PAE中，PA=AE=4a，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥PE，  

∴FG=a． ∴點(diǎn)C到平面PDE的距離為a．（或用等體積法求）…………（12分）