Question

已知：數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足，其中n∈N，首項(xiàng)為a．
（1）若對(duì)于任意的n∈N，數(shù)列{ a_n}還滿(mǎn)足a_n=p（p為常數(shù)），試求a的值；
（2）若a=4，求滿(mǎn)足不等式a_n≤2的自然數(shù)n的集合；
（3）若存在a，使數(shù)列{ a_n}滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，均有a_n＜a_n+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知a_n=a_n+1=a=p，由此可知a的值為1或2．
（2）由已知，得a_n+1-1=，，a=4，由此可以求得自然數(shù)n的集合為：{n|n≥3，n∈N}．
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．然后在分類(lèi)討論，可以求得a∈（1，2）．
解答：解：（1）∴對(duì)任意的n∈N，a_n=p（p為常數(shù)），
∴a_n=a_n+1=a=p，
則=p，得p²-3p+2=0，
所以p=1或p=2，故a的值為1或2．（4分）
（2）由已知，得a_n+1-1=，，
a=4，所以由（1）得a_n≠1，2對(duì)任意n∈N成立．

∴所求的自然數(shù)n的集合為：{n|n≥3，n∈N}（8分）
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．
要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．
（i）當(dāng)a₁＜-1時(shí)，a₂=f（a₁）=4-＞4，而a₃=f（a₂）=4-＜4＜a₂，明顯不滿(mǎn)足題意，舍去；
（ii）當(dāng)1＜a₁＜2時(shí)，由a₂=4-，得1＜a₂＜2，
由a₃=4-，和1＜a₃＜2，
…，…，
依此類(lèi)推，a_n=4-，得1＜a_n＜2，
而1＜a_n＜2時(shí)，不等式a_n＜a_n+1成立．
∴數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)均滿(mǎn)足a_n＜a_n+1（n∈N*）．
綜上所述，a₁∈（1，2），由a₁=f（a），得a∈（1，2）（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．屬于難題．