Question

設(shè)集合A={（x，y）|ay²-x-1=0}，B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}．
（1）若a=0，求A∩B．
（2）若a=1，是否存在非零自然數(shù)k和b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅？若存在，請(qǐng)求出k和b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)集合A：x=-1，由方程組

x=-1 4x2+2x-2y+5=0

，解得y，再利用交集運(yùn)算即可得出．
（2）a=1時(shí)，A={（x，y）|y²-x-1=0}．若存在非零自然數(shù)k，b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅，可得A∩C=∅，B∩C=∅．此即方程組

y2=x+1 y=kx+b

和方程組

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

均無(wú)解，即k²x²+2bkx+b²=x+1無(wú)解且4x²+2x-2（kx+b）+5=0也無(wú)解，即

k≠0 △1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)＜0 △2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0

，解得即可．

解答：解：（1）a=0時(shí)，
則A={（x，y）|x=-1}，由方程組

x=-1 4x2+2x-2y+5=0

，解得

x=-1 y= 7 2

，∴B={(-1，

7

2

)}．
∴A∩B=B={(-1，

7

2

)}．
（2）a=1時(shí)，A={（x，y）|y²-x-1=0}．
若存在非零自然數(shù)k，b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅，則A∩C=∅，B∩C=∅．
此即方程組

y2=x+1 y=kx+b

和方程組

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

均無(wú)解，
∴k²x²+2bkx+b²=x+1無(wú)解且4x²+2x-2（kx+b）+5=0也無(wú)解，即

k≠0 △1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)＜0 △2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0

．
此即4k²-4bk+1＜0，且k²-2k+8b-19＜0，
∴方程4k²-4bk+1=0的判別式，
△₃=16b²-16＞0，又∵k²-2k+8b-19＜0，
∴（k-1）²＜20-8b，
∴b²＞1且b＜

5

2

成立，
又b∈N，∴b=2，此時(shí)4k²-8k+1＜0，且k²-2k-3＜0，
由此得

2- 3

2

＜k＜

2+ 3

2

，得k=1，
即所求b=2，k=1．所以存在非零自然數(shù)b=2，k=1，
使得（A∩C）∪（B∩C）=∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的運(yùn)算與方程組的解的關(guān)系、一元二次方程的解與判別式的關(guān)系，屬于難題．