Question

4．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積取最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）或（0，-3）．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，結(jié)合基本不等式可知：當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=5時(shí)，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m有最大值25，并且此時(shí)點(diǎn)P位于橢圓短軸的頂點(diǎn)處，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，∴a=5，b=3，
設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
∴點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積m滿足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=25，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=5時(shí)，m有最大值25．
此時(shí)，點(diǎn)P位于橢圓短軸的頂點(diǎn)處，得P（0，3）或（0，-3）．
故答案為：（0，3）或（0，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓的方程，求其上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之積的最大值，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．