Question

已知函數(shù)f（x）滿足，其中a＞0且a≠1．
（1）對于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的取值集合；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
∴…
∴∴
即y=f（x）為奇函數(shù)------…
∵a＞1時
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數(shù)0＜a＜1時∴
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數(shù)
綜上f（x）為定義域上減函數(shù)…
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m²）∴奇函數(shù)∴f（1-m）＜f（m²-1）
∵減函數(shù)∴…
（2）∵y=f（x）為減函數(shù)∴…
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0…
∴…
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）滿足，我們可以利用換元法求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而判斷出函數(shù)的奇偶性，和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)我們可以將不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0化成一個關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可得到答案．
（2）若當(dāng)x∈（-∞，2）時，f（x）+3＞0恒成立，故我們可將f（x）+3＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于a的不等式恒成立問題，解答后，即可求出a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，其中熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，將題目中的不等式轉(zhuǎn)化為熟知的不等式式并進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．