Question

12．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（2），f（1）=-3，且f（x）的圖象與x軸的一個交點為（2，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上的最小值為h（a），求h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由已知函數(shù)圖象的頂點為（1，-3），將（2，0）代入，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，分類討論區(qū)間[a，a+2]與對稱軸的位置關(guān)系，可得最小值為h（a）的解析式．

解答 解：（1）∵f（0）=f（2），f（1）=-3，
故函數(shù)圖象的頂點為（1，-3）
設(shè)f（x）=a（x-1）²-3，
又∵f（x）的圖象與x軸的一個交點為（2，0）．
∴a-3=0，
解得：a=3，
故f（x）=3（x-1）²-3=3x²-6x；
（2）函數(shù)f（x）=3x²-6x的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
若a+2＜1，即a＜-1，則x=a+2時，函數(shù)f（x）取最小值為，此時h（a）=f（a+2）=3a²+6a，
若a≤1≤a+2，即-1≤a≤1，則x=1時，函數(shù)f（x）取最小值為，此時h（a）=f（1）=-3，
若a＞1，則x=a時，函數(shù)f（x）取最小值為，此時h（a）=f（a）=3a²-6a，
綜上所述：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}3{a}^{2}+6a，a＜-1\\-3，-1≤a≤1\\ 3{a}^{2}-6a，a＞1\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．