Question

16．若實數(shù)x，y滿足x²+y²≤4，求以下代數(shù)式的最值．
（1）$\frac{y-2}{x+3}$，（2）|3x-2y+1|；（3）x²+2x+y²-y+1．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y-2}{x+3}$表示圓上的點M（x，y）與點A（-3，2）連線的斜率，當直線MA和圓相切時，由圓心（0，0）到直線的距離等于半徑2，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x+3}$的范圍．
（2）令 t=|3x-2y+1|，故當直線3x-2y+1±t=0和圓x²+y²=4相切時，t取得最值，由得$\frac{|0-0+1±t|}{\sqrt{9+4}}$=2，求得t的值，即為所求．
（3）x²+2x+y²-y+1=（x+1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，表示圓內(nèi)的點（含邊界）與點N（-1，$\frac{1}{2}$）之間的距離的平方減去$\frac{1}{4}$，求得NO，可得x²+2x+y²-y+1的最大值和最小值．

解答 解：由于實數(shù)x，y滿足x²+y²≤4，則點（x，y）位于以原點為圓心、以2為半徑的圓的內(nèi)部（包含圓），
（1）$\frac{y-2}{x+3}$表示圓上的點M（x，y）與點A（-3，2）連線的斜率 k，
當直線MA和圓相切時，由圓心（0，0）到直線y-2=k（x+3）的距離等于半徑2，
可得$\frac{|0-0+3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0，或 k=-$\frac{12}{5}$，
故$\frac{y-2}{x+3}$∈[-$\frac{12}{5}$，0]．
（2）令 t=|3x-2y+1|，則3x-2y+1=±t，故當直線3x-2y+1±t=0和圓x²+y²=4相切時，
t取得最值．
根據(jù)圓心（0，0）到直線3x-2y+1±t=0 的距離等于半徑2，可得$\frac{|0-0+1±t|}{\sqrt{9+4}}$=2，
即|t-1|=2$\sqrt{13}$，求得t=2$\sqrt{13}$+1，或 t=2$\sqrt{13}$-1，故t的最大值為2$\sqrt{13}$+1，最小值為2$\sqrt{13}$-1．
（3）x²+2x+y²-y+1=（x+1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，表示圓內(nèi)的點（含邊界）與點N（-1，$\frac{1}{2}$）之間的距離的平方減去$\frac{1}{4}$，
求得NO²=$\frac{5}{4}$，故x²+2x+y²-y+1的最大值為${（2+\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$=5+2$\sqrt{5}$；x²+2x+y²-y+1的最小值為0-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線的斜率公式、兩點間的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．