Question

已知復(fù)數(shù)w=2-i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z=

5

w

+|w-2|，則一個以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程是

 

．

Answer 1

分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計算公式可得z，再利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：∵ω=2-i，∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+|-i|
=2+i+1
=3+i．
設(shè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程是x²+bx+c=0．
根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理可知：3-i也是此方程的一個實(shí)數(shù)根．
∴

3+i+3-i=-b (3+i)(3-i)=c

，解得b=-6，c=10．
∴一個以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程是x²-6x+10=0．
故答案為：x²-6x+10=0．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計算公式、實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．