Question

11．已知拋物線C：y²=4x
（1）拋物線C上有一動點(diǎn)P，當(dāng)P到C的準(zhǔn)線與到點(diǎn)Q（7，8）的距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）是否存在直線l：y=kx+b與C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，使OA與OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）所在直線的傾斜角互補(bǔ)，如果存在，試確定k與b的關(guān)系，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知，只要在拋物線上找P到點(diǎn)Q與到焦點(diǎn)F（1，0）的距離之和最小，由直線段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x的交點(diǎn)即可；
（2）由直線l：y=kx+b與拋物線y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韋達(dá)定理判斷k_OA+k_OB≠0．

解答 解：（1）由拋物線的定義可知，只要在拋物線上找P到點(diǎn)Q與到焦點(diǎn)F（1，0）的距離之和最小，
由直線段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x的交點(diǎn)即可．
由QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x可得4x²-17x+4=0，∴x₁=4或x₂=$\frac{1}{4}$（舍）．
∴P（4，4）．…（4分）   
（2）由直線l：y=kx+b與拋物線y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2k+$\frac{b（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}$≠0
故不存在符合條件的直線l．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．