Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的取值范圍；

（2）若存在唯一的極小值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）；證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）可利用分離參數(shù)法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后研究的單調(diào)性，求出最大值；

（2）通過(guò)研究在內(nèi)的變號(hào)零點(diǎn)，單調(diào)性情況確定唯一極小值點(diǎn)；若不能直接確定的零點(diǎn)范圍及單調(diào)性，可以通過(guò)研究的零點(diǎn)、符號(hào)來(lái)確定的單調(diào)性，和特殊點(diǎn)（主要是能確定符號(hào)的點(diǎn)）處的函數(shù)值符號(hào)，從而確定的極值點(diǎn)的存在性和唯一性．

(1)的定義域?yàn)?/span>.

由，得在恒成立，

轉(zhuǎn)化為

令，則，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴的最大值為，∴.

∴的取值范圍是.

(2)設(shè)，則，，.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，

又，

所以存在唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

所以存在唯一的極小值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，，

所以在有唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

所以存在唯一的極小值點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，令，得；

令，得，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以的最大值為

④當(dāng)時(shí)，，，，

(或用)

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知：

在區(qū)間，分別有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

所以存在唯一的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn).

⑤當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn).

由①②④可知，a的取值范圍為，

當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

所以.

由，得.

所以

，

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，即；

所以.